星空体育-技术高超的新秀出现，横扫对手引发热议

　　在某个城市中有一位理发师技术高超的新秀出现，横扫对手引发热议，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。技术高超的新秀出现，横扫对手引发热议我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”

　　有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀……然而按他的广告，他能不能给他自己刮脸呢？

　　刮还是不刮，这是个问题。

　　选项A：他不给自己刮脸。作为“不给自己刮脸的人”，理发师当然要给他刮脸。

　　选项B：他给自己刮脸。然而理发师只给“不给自己刮脸的人刮脸”，所以就不能给他刮脸。

　　缅怀一下杯具的理发师，他蹲到墙角画圈圈去了，然而……这事儿和数学危机有锤子关系？

　　看一下这样一个集合：S={x|x?S}——似乎是个描述法表示的集合。

　　高中数学课本开篇就是集合，它告诉我们：给定一个集合，对于任何一个元素，是有确定性的，要么属于集合，要么不属于（即确定性）。

　　那么，S∈S成立么？

　　选项A：S∈S。它不符合描述语句x?S，所以元素S应该不是集合S的元素，即S?S。

　　选项B：S?S。它符合描述语句x?S，所以元素S应该是集合S的元素，即S∈S。

　　这就是理发师悖论的数学表示。

　　于是问题来了：这是谁的错？是集合的错？还是确定性的错？

　　怎么避免悖论？

　　确定性是个很显然的性质，非此即彼，它不能错，所以只能是集合的错。

　　也就是说S={x|x?S}就不是个集合，“只给不给自己刮脸的人刮脸”的理发师是不能存在于世界上的。

　　问题又来了，总不能看见个悖论就把它踢出集合，补丁打起来就像软件的更新一样，没玩没了。能不能完美定义一下集合，把悖论赶出集合论呢？

　　理发师悖论的价值就在于此。1903年它由英国著名数学家罗素提出，使人们意识到：由康托尔建立的朴素集合论存在致命的漏洞需要修补。由此引发了数学史上著名的“第三次数学危机”。

　　罗素

　　为了解决这一问题，数学家们试图将集合论公理化，通过建立像几何那样的公理体系，来修补破绽。1908年，策梅罗提出第一个公理化集合论体系。后来冯·诺伊曼等人也提出过各自的公理体系。

　　策梅罗

　　由于公理体系表示复杂，所以高中课本中并没有直接对集合下定义，只是简单陈述为“一些元素组成的总体叫集合”。甚至到了大学，非数学系的教材中，往往也不会出现这些内容——尽管包括函数在内的许多数学重要内容，都是建立在集合论基础之上的。

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